Игорь Кваша родился в 1933 году в Москве. Он окончил школу-студию МХАТ и с 1955 по 1957 год играл в МХАТе имени Горького. После этого он перешел на работу в "Современник", в котором стал одним из сооснователей.
Помимо театра, Кваша играл роли в кино (всего в его фильмографии более 50 ролей), а также работал на радио и телевидении. С 1998 года и до последнего времени он был ведущим телепередачи "Жди меня".
В 1978 году Кваша получил звание народного артиста РСФСР. В 2006 году он стал кавалером Ордена "За заслуги перед Отечеством" III степени, а два года спустя получил благодарность от президента России.