Белявский родился в 1932 году в Москве. В 1955 году он окончил геологоразведочный факультет Московского института цветных металлов и золота, однако позже, попробовав себя в качестве актера, поступил в театральное училище им. Б. Щукина и окончил его в 1961 году. Он играл в Театре Сатиры (1961-1964), Театре Станиславского (1964-1966) и театре-студии киноактера (после 1966 года).
Наибольшую известность Белявскому, однако, принесли роли в кино. Он сыграл более чем в сотне фильмов, среди которых - "Июльский дождь" Марлена Хуциева, "Ирония судьбы, или С легким паром!" и "О бедном гусаре замолвите слово" Эльдара Рязанова. Настоящая слава пришла к Белявскому после исполнения роли Фокса в фильме Станислава Говорухина "Место встречи изменить нельзя". Кроме того, актер был первым ведущим телевизионного "Кабачка 13 стульев", а также занимался озвучиванием мультфильмов и дубляжом иностранных картин.
В 2003 году Белявский перенес инсульт. В последние годы он тяжело болел, находился на инвалидности.
